month_package = [31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31]
start_date = input("시작 월/일을 month/date 형식으로 입력하세요:")
end_date = input("종료 월/일을 month/date 형식으로 입력하세요:")
start_month =int(start_date.split('/')[0])
start_day =int(start_date.split('/')[1])
end_month =int(end_date.split('/')[0])
end_day =int(end_date.split('/')[1])
count_month =start_month
count_day = start_day
count_date = 0
그뒤는 질의자 한테 맡기겠습니다.
while문으로 end_month, end_day가 count_month랑 count_day랑 일치할때까지 반복작업되게 count_date를 +1 씩 더해주시고
count_month의 최대치인 month_package에서 해당 달의 최대 일에 도착하였을때,
count_month를 +1 해주시고, count_day를 다시 0부터 시작하게 만들면 될것 같습니다.

너무 늦은 것 같네요. 오랜만에 와서 시간이 없어서 직관적으로 코딩을 짜 봤어요. 코딩을 하다 보니 함수를 적용하라는 것을 보지 못해서 함수없이 코딩해 봅니다.

year = [31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31]

while True:
    start_month, start_day = map(int, input("시작 월/일을 입력하세요:").split("/"))
    finish_month, finish_day = map(int, input("종료 월/일을 입력하세요:").split("/"))

        # 아래 8줄을 위의 2줄로 간단히 요약 map을 모를 수도 있을 것 같아서...유용합니다. 코드 해독도 쉽고요.
        # start = input("시작 월/일을 입력하세요:")
        # finish = input("종료 월/일을 입력하세요:")
        # start_month, start_day = start.split("/")
        # finish_month, finish_day = finish.split("/")
        # start_month = int(start_month)
        # start_day = int(start_day)
        # finish_month = int(finish_month)
        # finish_day = int(finish_day)

    if (start_month > finish_month) or ((start_month == finish_month) and (start_day >= finish_day)):
        print("시작일이 종료일보다 같거나 늦으면 안됩니다. 다시 입력하세요.")
        continue
    else:
        start_count = 0
        for i, j in enumerate(year, 1):
            if start_month > i:
                start_count += j
            else:
                break

        start_total = start_count + start_day

        finish_count = 0
        for i, j in enumerate(year, 1):
            if finish_month > i:
                finish_count += j
            else:
                break

        finish_total = finish_count + finish_day

        total = finish_total - start_total
        break

print(f'{start_month}/{start_day}부터 {finish_month}/{finish_day}까지는 {total}일입니다.')

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